适用教材：《工程数学——积分变换（第六版）》- 东南大学 张元林 文档说明：本表对两种变换的定义、性质及常用对进行了对比整合，红色加粗部分为易混淆点。
| 项目 | Fourier 变换 (频域分析) | Laplace 变换 (复频域分析) |
|---|---|---|
| 变换定义 | $\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$ | $\displaystyle F(s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$ |
| 逆变换 | $\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$ | $\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty} F(s) e^{st} ds$ |
| 定义域 | $t \in (-\infty, +\infty)$ | $t \in [0, +\infty)$ (通常处理因果信号) |
| 变量 | 实数 $\omega$ (角频率) | 复数 $s = \beta + j\omega$ |
| 符号 | $\mathscr{F}[f(t)]$ | $\mathscr{L}[f(t)]$ |
注：$u(t)$ 为单位阶跃函数，$\delta(t)$ 为单位脉冲函数。
| 时域信号 $f(t)$ | Fourier 变换 $F(\omega)$ | Laplace 变换 $F(s)$ | 备注 |
|---|---|---|---|
| $\delta(t)$ | $1$ | $1$ | 全频带/全平面 |
| $u(t)$ (阶跃) | $\frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)$ | $\frac{1}{s}$ | 易错点：Fourier 变换含冲激 |
| $1$ (常数) | $2\pi\delta(\omega)$ | $\frac{1}{s}$ | Laplace 中视作 $u(t)$ |
| $e^{-\beta t}u(t)$ | $\frac{1}{\beta + j\omega}$ ($\beta>0$) | $\frac{1}{s+\beta}$ | 最基础模型 |
| $t^n u(t)$ | $j^n \pi \delta^{(n)}(\omega)$ (少用) | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | Laplace 中 $n$ 可为非整数 ($\Gamma$) |
| $\sin \omega_0 t \cdot u(t)$ | $j\pi[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)]$ | $\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$ | |
| $\cos \omega_0 t \cdot u(t)$ | $\pi[\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)]$ | $\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}$ | |
| $e^{-\beta t} \sin \omega_0 t$ | $\frac{\omega_0}{(\beta+j\omega)^2 + \omega_0^2}$ | $\frac{\omega_0}{(s+\beta)^2 + \omega_0^2}$ | 阻尼振荡 |
| 矩形脉冲 $G_\tau(t)$ | $\tau \text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2}) = \frac{2}{\omega}\sin\frac{\omega\tau}{2}$ | $\frac{1-e^{-s\tau}}{s}$ | 频域为抽样函数 |
| 性质 | Fourier 变换 | Laplace 变换 |
|---|---|---|
| 线性 | $\alpha F_1(\omega) + \beta F_2(\omega)$ | $\alpha F_1(s) + \beta F_2(s)$ |
| 时域位移/延迟 | $f(t-t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0} F(\omega)$ | $f(t-\tau)u(t-\tau) \leftrightarrow e^{-s\tau} F(s)$ |
| 频域位移 | $e^{j\omega_0 t}f(t) \leftrightarrow F(\omega-\omega_0)$ | $e^{at}f(t) \leftrightarrow F(s-a)$ |
| 尺度变换 | $f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})$ | $f(at) \leftrightarrow \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})$ ($a>0$) |
| 性质 | Fourier 变换 | Laplace 变换 |
|---|---|---|
| 时域微分 ($n$阶) | $(j\omega)^n F(\omega)$ | $\displaystyle s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k} f^{(k)}(0)$ |
| 注意 | 需满足 $t \to \infty, f(t) \to 0$ | 必须减去初始条件 $f(0), f’(0)…$ |
| 时域积分 | $\frac{F(\omega)}{j\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)$ | $\frac{1}{s} F(s)$ |
| 频域微分 ($n$阶) | $t^n f(t) \leftrightarrow j^n \frac{d^n}{d\omega^n} F(\omega)$ | $t^n f(t) \leftrightarrow (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)$ |
| 类型 | Fourier 变换 | Laplace 变换 |
|---|---|---|
| 定义 | $\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau$ | $\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau$ |
| 时域卷积 | $\mathscr{F}[f_1 * f_2] = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)$ | $\mathscr{L}[f_1 * f_2] = F_1(s) \cdot F_2(s)$ |
| 频域卷积 | $\mathscr{F}[f_1 \cdot f_2] = \frac{1}{2\pi} F_1 * F_2$ | $\mathscr{L}[f_1 \cdot f_2] = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F_1(u)F_2(s-u) du$ |
条件：$sF(s)$ 的所有极点必须在 $s$ 平面的左半平面（即系统必须稳定）。
提示：鼠标移动会产生拖尾并影响周围粒子；按住 Alt 可切换吸引（Alt）/排斥（默认）效果。